Exercice 391

Nombre de solutions d'une équation et encadrement

Contenu

- limites d'une fonction polynôme de degré 3
- dérivée et variations
- recherche du nombre de solutions d'une équation
- théorème des valeurs intermédiaires
- encadrement de la solution avec la calculatrice

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-\dfrac{5}{2}x^2+2x-6$
  1. Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et $-\infty$.
    Remarque: on peut traiter la suite de cet exercice même si les limites n'ont pas encore été traitées.
    On peut factoriser par le terme de plus haut degré, ici $x^3$
    Pour tout réel $x\neq 0$ on a $f(x)=x^3\left(1-\dfrac{5}{2x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}\right)$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3=+\infty$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{5}{2x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}=1$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3=-\infty$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 1-\dfrac{5}{2x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}=1$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty$
  2. Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.
    Il faut calculer $f~'(x)$ et étudier son signe
  3. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ .
    Donner la valeur arrondie aux dixièmes de(s) solution(s).
    Utiliser les intervalles $]-\infty;1]$ et $[1;+\infty[
  4. En déduire le signe de $f(x)$.
    Placer $ºalpha$ dans le tableau de variation et on a $f(\alpha)=0$.


 
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