Exercice 392

Solution d'une équation de degré 4

Contenu

- étude des variations d'une fonction polynôme de degré 4
- théorème des valeurs intermédiaires et encadrement de la solution de l'équation
- étude du signe de g - limites et variation d'une fonction polynôme de degré 4
- recherche des solution de l'équation $g(x)=0$

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Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= 4x^3 - 3x^2 + x + 1$
  1. Etudier les variations de $f$.
    Il faut calculer $f~'(x)$ et étudier son signe
    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme de degré 3)
    $f'(x)=4\times 3x^2-3\times 2x+1+0=12x^2-6x+1$

    Etude du signe de $12x^2-6x+1$:
    $\Delta =(-6)^2-4\times 12\times 1=-12$
    $\Delta<0$ donc il n'y a aucune racine et donc $f'(x)$ est du signe de $a=12$ coefficient de $x^2$
    donc $f'(x)>0$ et $f$ est donc strictement croissante.
  2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique que l'on notera $\alpha$ puis en donner la valeur arrondie aux dixièmes.
    On peut calculer $f(-1)$ et $f(0)$.
    Pour arrondir $\alpha$ aux dixièmes, il faut déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$
    $f(-1)=4\times (-1)^3 - 3\times (-1)^2 -1 + 1=-7$ et $f(0)=1$.
    $f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme de degré 3)
    et 0 est compris entre $f(-1)$ et $f(0)$
    donc l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $\mathbb{R}$.
    On a de plus $f$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$

    donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.


    Recherche d'une encadrement de $\alpha$
    Avec le MENU TABLE de la calculatrice on obtient $f(-0,38)\approx -0,03$ et $f(-0,37)\approx 0,02$
    donc on a $-0,38< \alpha < -0,37$

    donc la valeur arrondie aux dixième de $\alpha$ est $-0,4$.
  3. En déduire le signe de $f(x)$.
    Il faut utiliser les variations de $f$ et $f(\alpha)=0$

Partie B
La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^4-x^3+\dfrac{1}{2}x^2+x-5$.
  1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.
    Remarque: la suite de l'exercice peut-être traitée même si les limites n'ont pas encore été vues.
    On peut factoriser le terme de plus haut degré, ici $x^4$.
  2. Dresser le tableau de variation de $g$.
    On peut utiliser le signe de $f(x)$ pour déterminer les variations de $g$
  3. En déduire le nombre de solutions de l'équation $x^4-x^3+\dfrac{1}{2}x^2+x-5=0$ et en donner une valeur arrondie aux dixièmes.
    Il faut utiliser le tableau de variation obtenu pour $g$


 
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