Exercice 393

Etude complète d'une fonction rationnelle en utilisant une fonction auxiliaire

Contenu

- dérivée et variations d'une fonction polynôme de degré 3
- solutions de l'équation g(x)=0- théorème des valeurs intermédiaires
- signe de g(x)
- étude d'une fonction rationnelle: dérivée limites et variations
- asymptote oblique
- représentation graphique de f (asymptotes, extremums...)

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Partie A
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)= 4x^3 - 3x -8$
  1. Etudier les variations de $g$.
    Il faut calculer $g~'(x)$ et étudier son signe
    $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme de degré 3)
    $g'(x)=4\times 3x^2-3-3=12x^2-3$

    Etude du signe de $12x^2-3$:
    $12x^2-3=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$

    avec $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3-3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)-8=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}-8=-9$
    $g\left(\dfrac{-1}{2}\right)=4\times \left(\dfrac{-1}{2}\right)^3-3\times \left(\dfrac{-1}{2}\right)-8=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{3}{2}-8=-7$
  2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique que l'on notera $\alpha$ puis en donner la valeur arrondie aux dixièmes.
    Il faut distinguer les intervalles $]-\infty;\dfrac{-1}{2}]$ et $[\dfrac{1}{2};+\infty[$
    Pour arrondir $\alpha$ aux dixièmes, il faut déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$
    $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme de degré 3)
    Sur $]-\infty;\dfrac{1}{2}[$:
    $g$ est continue et le maximum de $g$ est $-7$ atteint en $x=\dfrac{-1}{2}$
    donc $g(x)\leq -7 < 0$
    et l'équation $g(x)=0$ n'admet aucune solution sur $]-\infty;\dfrac{1}{2}[$.

    Sur $]\dfrac{1}{2};+\infty[$:
    $g(2)=4\times 2^3-3\times 2-8=18$ et $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=-9$
    $g$ est continue et $0$ est compris entre $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $g(2)=18$
    donc l'équation $g(x)=0$ admet au moins une solution sur $]\dfrac{1}{2};+\infty[$
    de plus $g$ est strictement croissante sur $]\dfrac{1}{2};+\infty[$
    donc l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique sur $]\dfrac{1}{2};+\infty[$.


    L'équation $g(x)=0$ admet donc une seule solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

    Remarque
    Pour arrondir aux dixièmes, il faut encadrer aux centièmes.
    Recherche d'une encadrement de $\alpha$
    Avec le MENU TABLE de la calculatrice on obtient $g(1,45)\approx -0,15$ et $g(1,46)\approx 0,07$
    donc on a $1,45< \alpha < 1,46$

    donc la valeur arrondie aux dixièmes de $\alpha$ est $1,5$.
  3. En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$.
    $g$ est continue sur $]\dfrac{1}{2};+\infty[$ et $g(\alpha)=0$
Partie B
La fonction $f$ est définie sur $]\dfrac{1}{2}; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3+1}{4x^2-1}$
  1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
    En $+\infty$ il faut factoriser $x^3$ au numérateur et $x^2$ au dénominateur.
    En $\dfrac{1}{2}$, il faut chercher la limite du numérateur et du dénominateur.
  2. Montrer que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(4x^2-1)^2}$.
    On pose $u(x)=x^3+1$ et $v(x)=4x^2-1$
  3. En déduire le signe de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$.
    Il faut utiliser le signe de $g(x)$.

Partie C
La droite $(d)$ a pour équation réduite $y=\dfrac{x}{4}$.
  1. Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)-\dfrac{x}{4}$.
    Interpréter graphiquement ce résultat
    Réduire au même dénominateur
    On peut factoriser le terme de plus haut degré, ici $x$ au numérateur et $x^2$ au dénominateur.
  2. Etudier le signe de $f(x)-\dfrac{x}{4}$.
    Que peut-on en déduire graphiquement?
    On peut ainsi comparer $f(x)$ et $\dfrac{x}{4}$
  3. Compléter le tracé de $C_f$ en utilisant toutes les informations disponibles.
    Il faut tracer les asymptotes d'équations $x=\dfrac{1}{2}$ et $y=\dfrac{x}{4}$ et placer le point $(\alpha;f(\alpha))$


 
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