Exercice 394

Nombre de solutions d'une éqtaion de degré 3 avec paramètre

Contenu

- limites d'une fonction polynôme de degré 3
- étude des variations en fonction de la valeur du paramètre m
- théorème des valeurs intermédiaires

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+mx^2+x+1$ avec $m\in \mathbb{R}$.
  1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    On peut factoriser le terme de plus haut degré, ici $x^3$
    Pour tout réel $x\neq 0$ on a:
    $f(x)=x^3\left(1+\dfrac{m}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)$
    Limite en $-\infty$:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1+\dfrac{m}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}=1$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$


    Limite en $+\infty$:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^3=+\infty$ et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1+\dfrac{m}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}=1$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
  2. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $m$.
  3. En déduire les valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
    Il faut que $f$ soit monotone sur $\mathbb{R}$ donc que $f'(x)$ soit de signe constant et donc que $\Delta \leq 0$


 
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