Exercice 395
Etude de la continuité et de la dérivabilité en 0
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par:
$\begin{cases} f(x)= x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\text{ si }x>0\\ f(0)=1 \end{cases} $
$\begin{cases} f(x)= x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\text{ si }x>0\\ f(0)=1 \end{cases} $
- $f$ est-elle continue en 0?
Cas d'indétermination
Il y a quatre cas d'indétermination à retenir ($\alpha$ est un réel fini ou bien $+\infty$ ou bien $-\infty$).
Limite de la somme $f+g$ avec $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} g(x)=-\infty$
Limite du produit $f\times g$ avec $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} g(x)=\pm \infty$
Limite du quotient $\dfrac{f}{g}$ avec $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} g(x)=0$
Limite du quotient $\dfrac{f}{g}$ avec $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)=\pm \infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} g(x)=\pm \infty$Limite de la composée de deux fonctions
$a$, $b$ et $c$ désignent des réels ou bien $+\infty$ ou $-\infty$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} u(x)=b$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow b} v(x)=c$
alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} vou(x)=c$
Schématiquement, on a:
Il faut chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)$On a $x >0$ donc $\sqrt{x^2}=x$ et donc $f(x)=\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\sqrt{x^2+1}$
On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=v(u(x))=vou(x)$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} x^2+1=1^+$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}\sqrt{x}=1$
et par composition $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1=f(0)$
donc $f$ est continue en 0 - Calculer $f'(x)$ pour $x>0$ et en déduire les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.
Dérivée de $\sqrt{u}$
Si la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et $u(x)>0$ sur $i$ alors la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$
et $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$On peut utiliser la forme $\sqrt{x^2+1}$ et la formule $ \sqrt{u}$Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)
- Montrer que $f$ est dérivable en 0 et déterminer $f'(0)$.
Il faut chercher la limite du taux d'accroissement de $f$ entre 0 et $x$ avec $x>0$ quand $x\longrightarrow 0^+$
Rappel: le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!