Exercice 395

Etude de la continuité et de la dérivabilité en 0

Contenu

- limite en 0 par composition
- calcul d'une dérivée avec la composée d'une fonction avec la fonction racine carrée
- limite du taux d'accroissement en 0
- levée de l'indétermination avec l'expression conjuguée

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On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par:
$\begin{cases} f(x)= x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\text{ si }x>0\\ f(0)=1 \end{cases} $
  1. $f$ est-elle continue en 0?
    Il faut chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)$
    On a $x >0$ donc $\sqrt{x^2}=x$ et donc $f(x)=\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\sqrt{x^2+1}$
    On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=v(u(x))=vou(x)$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} x^2+1=1^+$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}\sqrt{x}=1$
    et par composition $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1=f(0)$

    donc $f$ est continue en 0
  2. Calculer $f'(x)$ pour $x>0$ et en déduire les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    On peut utiliser la forme $\sqrt{x^2+1}$ et la formule $ \sqrt{u}$
  3. Montrer que $f$ est dérivable en 0 et déterminer $f'(0)$.
    Il faut chercher la limite du taux d'accroissement de $f$ entre 0 et $x$ avec $x>0$ quand $x\longrightarrow 0^+$
    Rappel: le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$


 
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