Exercice 396

Variations d'une fonction rationnelle, limites, tangente en un point

Contenu

- dérivée d'un quotient
- signe de la dérivée et tableau de variation
- limites aux bornes de l'ensemble de définition
- équation réduite d'une tangente
- position relative de la courbe et d'une droite donnée
- tableau de signes d'un quotient

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 2 \rbrace$ par $f(x)=\dfrac{2x^2-3x}{x-2}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
  1. Montrer que l'on peut écrire $f(x)$ sous la forme $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels à déterminer.
    Il faut réduire au même dénominateur l'expression de $f(x)$ proposée et identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ sachant que le numérateur doit être $2x^2-3x$
    $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$
    $\phantom{f(x)}=\dfrac{(ax+b)(x-2)+c}{x-2}$
    $\phantom{f(x)}=\dfrac{ax^2+bx-2ax-2b+c}{x-2}$
    or $f(x)=\dfrac{2x^2-3x}{x-2}$ donc par identification des coefficients (on doit avoir $ax^2+bx-2ax-2b+c=2x^2-3x$), on a:
    $a=2$ (coefficient de $x^2$)
    $b-2a=-3$ soit $b-4=-3$ (coefficient de $x$)
    donc $b=1$
    et $-2b+c=0$ soit $c=2$

    donc $f(x)=2x+1+\dfrac{2}{x-2}$

    Remarque
    On peut vérifier avec la calculatrice et le MENU TABLE que les deux fonctions sont "identiques" en saisissant Y1$=\dfrac{2x^2-3x}{x-2}$ et Y2$=2x+1+\dfrac{2}{x-2}$ et en comparant les deux tableaux de valeurs.
  2. En déduire la limite de $f$ aux bornes de l'ensemble de définition
    On peut utiliser l'expression de $f$ obtenue à la question 1
    On peut donc chercher la limite de $2x+1$ puis de $\dfrac{2}{x-2}$
    $f(x)=2x+1+\dfrac{2}{x-1}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x+1=+\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x-2=+\infty$ donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x-2}=0$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
    De même, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2x+1=-\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{2}{x-2}=0$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

    Limites en $x=2$:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}2x+1=-4+1=-3$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}x-2=0^+$ (car $x>2$) donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\dfrac{2}{x-2}=+\infty$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}2x+1=-4+1=-3$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}x-2=0^-$ (car $x<2$) donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\dfrac{2}{x-2}=-\infty$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=+\infty$

    Remarque
    La courbe $C_f$ admet la droite d'équation $x=2$ pour asymptote.
  3. Dresser le tableau de variation de $f$.
    On peut utiliser la dérivée d'un quotient avec $u(x)=2x^2-3x$ et $v(x)=x-2$
  4. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe au point $A$ d'abscisse $4$ et la tracer dans le même repère que la courbe $C_f$ donnée ci-dessous .
    Il faut calculer $f(4)$ et $f'(4)$
  5. Etudier la position relative de la droite $D$ d'équation $y=x$ et de la courbe $C_f$.
    On veut comparer $f(x)$ et $x$ et il faut donc étudier le signe de $f(x)-x$


 
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