Exercice 6210

Déterminer les coefficients de F par identification

Contenu

- calcul d'une dérivée avec exp(u)
- identification des coefficients de F pour que F soit une primitive de f
- détermination de la primitive G s'annulant en x=1

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^{-x}$.
  1. On pose $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(ax+b)e^{-x}$
    On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^{-x}$ et on a $F(x)=u(x)v(x)$
    On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^{-x}$ et on a $F(x)=u(x)v(x)$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $F$ est dérivable (produit de deux fonctions dérivables) sur $\mathbb{R}$.
    $u'(x)=a$ et $v'(x)=(-x)'e^{-x}=-e^{-x}$
    $F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{F'(x)}=ae^{-x}+(ax+b)(-e^{-x})$
    $\phantom{F'(x)}=e^{-x}(a-ax-b)$

    donc $F'(x)=e^{-x}(a-ax-b)$
  2. En déduire $a$ et $b$ pour que $F$ soit une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    On veut que $F'(x)=f(x)$
  3. En déduire la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ s'annulant en $x=1$.
    Si on note $G$ cette primitive, on a $G(x)=F(x)+C$ et $G(1)=0$


 
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