Exercice 6211

Primitives d'une fonction rationnelle

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- décomposition en une somme, identification des coefficients
- recherche d'une primitive utilisant (ln(u))'=u'/u

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+4x+1}{x^2+1}$.
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{bx}{x^2+1}$ pour tout réel $x$.
    Il faut réduire $f(x)=a+\dfrac{bx}{x^2+1}$ au même dénominateur puis identifier les coeffcients
    $f(x)=a+\dfrac{bx}{x^2+1}=\dfrac{a(x^2+1)+bx}{x^2+1}=\dfrac{ax^2+bx+a}{x^2+1}$
    Par identification des coefficients, on a $a=1$ et $b=4$

    donc $f(x)=1+\dfrac{4x}{x^2+1}$
  2. En déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
    On peut poser $u(x)=x^2+1$ et on a $u'(x)=2x$ soit $f(x)=1+2\dfrac{u'(x)}{u(x)}$


 
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