Exercice 6212

Recherche d'une primitive avec exponentielle

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- décomposition en une somme, identification des coefficients
- recherche d'une primitive utilisant (ln(u))'=u'/u

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{e^x+1}$.
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{be^x}{e^x+1}$ pour tout réel $x$.
    Il faut réduire $f(x)=a+\dfrac{e^x}{e^x+1}$ au même dénominateur puis identifier les coeffcients
    $f(x)=a+b\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{a(e^x+1)+be^x}{e^x+1}=\dfrac{ae^x+be^x+a}{e^x+1}$
    On veut donc $ae^x+be^x+a=1$ pour tout réel $x$ .
    Par identification des coefficients, on a $a+b=0$ et $a=1$
    donc $b=-1$

    donc $f(x)=1-\dfrac{e^x}{e^x+1}$
  2. En déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
    On peut poser $u(x)=e^x+1$ et on a $u'(x)=e^x$ soit $f(x)=1-\dfrac{u'(x)}{u(x)}$


 
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