Exercice 623

Recherche de primitives en utilisant (un)'

Contenu

- utilisation des formules de dérivation notamment (un)'=nu'un-1
- application à la recherche de primitives de fonctions du type (ax+b)n
- primitive avec la fonction ln

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Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $D$ (on ne demande pas de justifier l'existence de $F$).
  1. $f(x)=(2x+3)^3$ avec $D=\mathbb{R}$
    $f(x)=\dfrac{1}{8}4\times 2\times (2x+1)^3$
    $f(x)=\dfrac{1}{8}\times 4\times 2\times (2x+3)^3$
    En posant $u(x)=2x+3$ on a $u'(x)=2$ et $f(x)=\dfrac{1}{8}\times 4u'(x)(u(x))^3$
    donc $F(x)=\dfrac{1}{8}(u(x))^4=\dfrac{(2x+3)^4}{8}$
    En effet $F'(x)=\dfrac{4\times 2(2x+3)^3}{8}=(2x+3)^3=f(x)$

    $F(x)=\dfrac{(2x+3)^4}{8}$

    Remarque On peut aussi utiliser le fait que pour avoir $(2x+3)^3$ en dérivant il faut avoir $F$ de la forme $(2x+3)^4$. $\left((2x+3)^4\right)'=4\times (2x+3)'\times (2x+3)^3=8(2x+3)^3$
    donc $\left((2x+3)^4\right)'=8(2x+3)^3$ et alors $\left(\dfrac{(2x+3)^4}{8}\right)'=(2x+3)^3$
  2. $f(x)=(3-4x)^2$ avec $D=\mathbb{R}$
    $f(x)=\dfrac{-1}{12}\times 3\times (-4)\times (3-4x)^2$
  3. $f(x)=\dfrac{(ln(x))^2}{x}$ avec $D=]0;+\infty[$
    $f(x)=\dfrac{1}{x}(ln(x))^2$ et on peut poser $u(x)=ln(x)$


 
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