Exercice 624

Primitives utilisant (1/un)'

Contenu

- recherche de primitives en utilisant les formules de dérivation
- utilisation de la dérivée de (1/un)'

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Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $D$ (on ne demande pas de justifier l'existence de $F$).
  1. $f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^3}$ avec $D=\mathbb{R}\setminus \lbrace -1 \rbrace$
    $f(x)=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{-2}{(x+1)^3}$ et on pose $u(x)=x+1$
    $f(x)=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{-2}{(x+1)^3}$
    En posant $u(x)=x+1$ on a $u'(x)=1$ et $f(x)=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{-2}{(x+1)^3}$
    donc $F(x)=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{1}{(x+1)^2}=-\dfrac{1}{2(x+1)^2}$
    On a alors $F'(x)=-\dfrac{-2}{2(x+1)^3}=\dfrac{1}{(x+1)^3}=f(x)$

    $F(x)=-\dfrac{1}{2(x+1)^2}$
  2. $f(x)=\dfrac{1}{(2x+1)^2}$ avec $D=\mathbb{R}\setminus \lbrace \dfrac{-1}{2}\rbrace$
    $f(x)=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{-2}{(2x+1)^2}$ et on pose $u(x)=2x+1$
  3. $f(x)=\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ avec $D=\mathbb{R}$
    $f(x)=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}$ et on pose $u(x)=x^2+1$


 
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