Exercice 625

Primitives utilisant (ln(u))'

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- recherche de primitives de fonctions de la forme u'/u
- primitives utilisant la dérivée de (ln(u))'=u'/u

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Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $D$ (on ne demande pas de justifier l'existence de $F$).
  1. $f(x)=\dfrac{1}{2x-4}$ avec $D=]2;+\infty[$
    $f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{2x-4}$ et on pose $u(x)=2x-4$
    $f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{2x-4}$
    En posant $u(x)=2x-4$ on a $u'(x)=2$ avec $u(x)>0$ sur $]2;+\infty[$
    On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
    donc $F(x)=\dfrac{1}{2}ln(u(x))=\dfrac{ln(2x-4)}{2}$
    On a alors $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{2x-4}=\dfrac{1}{2x-4}=f(x)$

    $F(x)=\dfrac{ln(2x-4)}{2}$

    Remarque
    On peut aussi remarque que pour obtenir $\dfrac{1}{2x-4}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $ln(2x-4)$.
    On a alors $(ln(2x-4))'=\dfrac{(2x-4)'}{2x-4}=\dfrac{2}{2x-4}$
    donc $(ln(2x-4))'=\dfrac{2}{2x-4}$ soit $\left(\dfrac{ln(2x-4)}{2}\right)'=\dfrac{1}{2x-4}$
  2. $f(x)=\dfrac{1}{3-x}$ avec $D=]-\infty;3[$
    $f(x)=-\times \dfrac{-1}{3-x}$ et on pose $u(x)=3-x$
  3. $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ avec $D=\mathbb{R}$
    $f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2x}{x^2+1}$ et on pose $u(x)=x^2+1$
  4. $f(x)=\dfrac{e^x}{2e^x+1}$ avec $D=\mathbb{R}$
    Si on pose $u(x)=2e^x+1$ on a alors $u'(x)=2e^x$ et $f(x)=\dfrac{u'(x)}{2u(x)}$


 
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