Exercice 626

Primitives utilisant (eu)'

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- recherche de primitives avec exp(u)
- utilisation de la formule (eu)'=u'eu

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Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $D$ (on ne demande pas de justifier l'existence de $F$).
  1. $f(x)=e^{2x-3}$ avec $D=\mathbb{R}$
    $f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2e^{2x-3}$ et on pose $u(x)=2x-3$
    $f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2e^{2x-3}$
    En posant $u(x)=2x-3$ on a $u'(x)=2$
    On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times u'(x)e^{u(x)}$
    donc $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{u(x)}=\dfrac{e^{2x-3}}{2}$
    On a alors $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times (2x-3)'e^{2x-3}=e^{2x-3}=f(x)$

    $F(x)=\dfrac{e^{2x-3}}{2}$

    Remarque
    On peut aussi remarque que pour obtenir $e^{2x-3}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $e^{2x-3}$.
    On a alors $\left(e^{2x-3}\right)'=(2x-3)'e^{2x-3}=2e^{2x-3}$
    donc $\left(e^{2x-3}\right)'=2e^{2x-3}$ soit $\left(\dfrac{e^{2x-3}}{2}\right)'=e^{2x-3}$
  2. $f(x)=e^{-x}$ avec $D=\mathbb{R}$
    $f(x)=-\left(-e^{-x}\right)$ et on pose $u(x)=-x$
  3. $f(x)=e^{1-3x}$ avec $D=\mathbb{R}$
    $f(x)=\dfrac{-1}{3}\times e^{1-3x}$ et on pose $u(x)=1-3x$
  4. $f(x)=xe^{x^2}$ avec $D=\mathbb{R}$
    Si on pose $u(x)=x^2$ on a alors $u'(x)=2x$ et $f(x)=\dfrac{1}{2}u'(x)e^{u(x)}$


 
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