Exercice 627

Justifier qu'une fonction est une primitive

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- justifier qu'une fonction F est une primitive de f
- déterminer l'ensemble de toutes les primitives
- déterminer la primitive d'une fonction vérifiant une condition donnée

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ln(x)$.
  1. Montrer que $F$ définie par $F(x)=xln(x)-x$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    Il faut calculer $F'(x)$ en posant $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$
    On a alors $F(x)=u(x)v(x)-x$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ dérivables sur $]0;+\infty[$.
    $F(x)=u(x)v(x)-x$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
    On a alors $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$
    $\phantom{F(x)}=1ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1$

    $\phantom{F(x)}=ln(x)+1-1$
    $\phantom{F(x)}=ln(x)$
    $\phantom{F(x)}=f(x)$

    donc $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
  2. En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur $]0;+\infty[$ puis la primitive $G$ de $f$ s'annulant en $x=1$.
    La dérivée d'une constante est nulle...


 
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