Exercice 628

Justifier qu'une fonction est une primitive

Contenu

- justifier qu'une fonction F est une primitive de f
- calculs de dérivées avec les formules de dérivation (produit, quotient, logarithme, exponentielle...)

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Dans chaque cas, montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $D$.
  1. $f(x)=(3x+1)e^{3x}$ et $F(x)=xe^{3x}$ avec $D=\mathbb{R}$
    Il faut poser $u(x)=x$ et $v(x)=e^{3x}$
    On a alors $F(x)=u(x)v(x)$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{3x}$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    On a $u'(x)=1$ et $v'(x)=(3x)'e^{3x}=3e^{3x}$
    $F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{F'(x)}=1e^{3x}+x\times 3e^{3x}$
    $\phantom{F'(x)}=e^{3x}(1+3x)$
    $\phantom{F'(x)}=f(x)$

    donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  2. $f(x)=\dfrac{4x+2}{e^x}$ et $F(x)=\dfrac{-4x-6}{e^x}$ avec $D=\mathbb{R}$
    Il faut poser $u(x)=-4x-6$ et $v(x)=e^{x}$
    On a alors $F(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
  3. $f(x)=xe^{-x}$ et $F(x)=-(1+x)e^{-x}$ avec $D=\mathbb{R}$
    Il faut poser $u(x)=-(1+x)$ et $v(x)=e^{-x}$
    On a alors $F(x)=u(x)v(x)$


 
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