Exercice 633

Déterminer les coefficients de F par identification

Contenu

- calcul d'une dérivée avec ln
- identification des coefficients de G pour que G soit une primitive de g
- calcul d'une intégrale
- contrôle avec la calculatrice

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La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=4xln(x)+x^2-1$
  1. On pose $g(x)=xln(x)$.
    Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $G$ définie par $G(x)=ax^2(ln(x)+b)$ soit une primitive de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$
    Il faut calculer $G'(x)$ et on veut $G'(x)=g(x)$
    On pose $u(x)=ax^2$ et $v(x)=ln(x)+b$ dérivables sur $]0;+\infty[$
    donc $G(x)=u(x)v(x)$ est dérivable sur $]0;+\infty [$.
    On a $u'(x)=2ax$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $G'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ $\phantom{G'(x)}=2ax(ln(x)+b)+ax^2\times \dfrac{1}{x}$
    $\phantom{G'(x)}=2axln(x)+2abx+ax$
    $\phantom{G'(x)}=2axln(x)+a(2b+1)x$
    $G$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$ donc pour tout réel $x>0$, on a $2axln(x)+a(2b+1)x=xln(x)$
    Par identification des coefficients, on a donc:
    $2a=1 \Longleftrightarrow a=\dfrac{1}{2}$ (coefficient de $xln(x)$)
    et $a(2b+1)=0 \Longleftrightarrow 2b+1=0 \Longleftrightarrow b=-\dfrac{1}{2}$

    donc $G(x)=\dfrac{x^2}{2}\left(ln(x)-\dfrac{1}{2}\right)$

    Penser à contrôler avec la calculatrice
    CASIO: MENU TABLE puis saisir Y1$=G(x)$ et Y2$=g(x)$
    Activer le l'option DERIVATIVE (shift MENU (SET UP)) et vérifier que Y'1=Y2
  2. En déduire $\displaystyle \int_1^e f(x)dx$
    On a $f(x)=g(x)+x^2-1$ et il faut déterminer une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$


 
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