Exercice 634

Calcul d'une intégrale avec exp

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- calcul d'une dérivée avec exponentielle
- en déduire une primitive puis calculer une intégrale

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=10+(x-3)e^x$.
  1. On pose $G(x)=(x-4)e^x$ définie sur $\mathbb{R}$.
    Calculer $G'(x)$.
    On pose $u(x)=x-4$ et $v(x)=e^x$ et on a $G(x)=u(x)v(x)$
    On pose $u(x)=x-4$ et $v(x)=e^x$ et on a $G(x)=u(x)v(x)$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
    $G'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{G'(x)}=1e^x+(x-4)e^x$
    $\phantom{G'(x)}=e^x(1+x-4)$
    $\phantom{G'(x)}=e^x(x-3)$

    $G'(x)=(x-3)e^x$
  2. En déduire $\int_0^1 f(x)dx$.
    Il faut chercher une primitive de $f$ sachant que $f(x)=10+G'(x)$


 
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