Exercice 712

Systèmes d'équations avec cos et sin

Contenu

- systèmes d'équations formés avec cos(x)=a$ et sin(x)=b
- utilisation des symétries sur le cercle trigonométrique

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Résoudre sur $]-\pi;\pi]$ les systèmes d'équations trigonométriques ci-dessous.
  1. $\begin{cases} cos(x)=\dfrac{1}{2}\\ sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
    On peut utiliser le cercle trigonométrique et les valeurs du cos et sin pour l'angle $\dfrac{\pi}{3}$
    On sait que $cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ et que $sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    On a alors par symétrie sur le cercle trigonométrique:


    donc $x=-\dfrac{\pi}{3}$

    Remarque
    Il y a une seule solution sur $]-\pi;\pi]$ mais une infinité de solutions dans $\mathbb{R}$ de la forme $-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
  2. $\begin{cases} cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    On peut utiliser le cercle trigonométrique et les valeurs du cos et sin pour l'angle $\dfrac{\pi}{4}$
  3. $\begin{cases} cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ sin(x)=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    On peut utiliser le cercle trigonométrique et les valeurs du cos et sin pour l'angle $\dfrac{\pi}{6}$


 
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