Exercice 726
Conjugué d'un quotient-forme algébrique d'un quotient
Dans chaque cas, donner le conjugué de $z$ puis écrire $\overline{z}$ sous forme algébrique.
- $z=\dfrac{1}{1-i}$
Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué d'un nombre complexe $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels est $\overline{z}=x-iy$
On a alors $Re(\overline{z})=Re(z)$ et $Im(\overline{z})=-Im(z)$Conjugué d'une somme, d'un produit et d'un quotient
$z$ est un nombre complexe.
$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
$\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
Si $z'\neq 0$, on a $\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z'}}$
et $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour supprimer les complexes au dénominateur$z=\dfrac{1}{1-i}$ donc $\overline{z}=\overline{\dfrac{1}{1-i}}=\dfrac{1}{\overline{1-i}}=\dfrac{1}{1+i}$
donc $\overline{z}=\dfrac{1}{1+i}$
$\overline{z}=\dfrac{1}{1+i}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{1(1-i)}{(1+i)(1-i)}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{1-i}{1^2+1^2}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{1-i}{2}$
$\overline{z}=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{1}{2}$
penser à contrôler avec la calculatrice (OPTION puis CPLX pour avoir le nombre $i$) en utilisant la touche CONJ
- $z=\dfrac{2+i}{1-2i}$
Il faut chercher le conjugué de $2+i$ puis de $1-2i$
Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour supprimer les complexes au dénominateurAide en ligne (explications, conseils de révisions...)
- $z=\dfrac{(2+i)(3-2i)}{1-3i}$
Il faut chercher le conjugué de $2+i$, de $3-2i$ puis de $1-3i$
Il faut développer d'abord le numérateur puis multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour supprimer les complexes au dénominateurRéussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!