Exercice 732

Equations du premier degré et avec un quotient de complexes

Contenu

- résoudre une équation avec un quotient de complexes
- équations avec le conjugué
- utilisation de la forme algébrique

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Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{C}$.
Donner la forme algébrique des solutions obtenues.
  1. $3z-2+\overline{z}=2i$
    On peut poser $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels
    On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels et on a $\overline{z}=x-iy$.
    $3z-2+\overline{z}=2i \Longleftrightarrow 3(x+iy)-2+x-iy=2i$
    $\phantom{3z-2+\overline{z}=2i} \Longleftrightarrow 3x+3iy-2+x-iy=2i$
    $\phantom{3z-2+\overline{z}=2i} \Longleftrightarrow 4x+2iy=2+2i$
    $\phantom{3z-2+\overline{z}=2i} \Longleftrightarrow 4x=2$ et $2y=2$
    $\phantom{3z-2+\overline{z}=2i} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ et $y=1$

    donc $S=\left\lbrace \dfrac{1}{2}+i \right\rbrace$
  2. $\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i$
    Il faut d'abord déterminer l'ensemble de résolution.
    On peut ensuite utiliser les produits en croix.
  3. $\dfrac{z+i}{\overline{z}-1}=2$
    Il faut d'abord déterminer l'ensemble de résolution.
    On peut ensuite utiliser les produits en croix et poser $z=x+iy$


 
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