Exercice 734

Equations se ramenant au second degré

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- équations avec un quotient de complexes
- équations se ramenant au second degré

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Déterminer les complexes solutions des équations ci-dessous.
  1. $\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3$
    il faut d'abord déterminer l'ensemble de résolution
    On calcule $\Delta$ et si $\Delta<0$ il n'y a aucune solution dans $\mathbb{R}$ mais des solutions dans $\mathbb{C}$.
    Il faut $z+1\neq 0 $ soit $z\neq -1$
    On résout donc sur $\mathbb{C}\setminus \lbrace -1 \rbrace$.
    $\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3 \Longleftrightarrow 3z+2=(z+3)(z+1)$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow 3z+2=(z+3)(z+1)$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow 3z+2=z^2+3z+z+3$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow 3z+2-z^2-4z-3=0$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow -z^2-z-1=0$
    $\phantom{\dfrac{3z+2}{z+1}=z+3} \Longleftrightarrow z^2+z+1=0$
    $\Delta=1^2-4\times 1\times 1 =-3$
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$
    $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

    $S=\left\lbrace \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2};\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right \rbrace$
  2. $\dfrac{(z+2)^2}{z^2+4}=3$
    Déterminer les valeurs interdites solutions de l'équation $z^2+4=0$
    On se ramène à une équation du second degré


 
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