Exercice 736

Equation de degré 3

Contenu

- calculs avec des complexes(développer une expression)
- factorisation par identification des coefficients
- racines d'un polynôme de degré 3

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
On pose $P(z)=z^3+iz^2-iz+1+i$ défini pour $z\in \mathbb{C}$.
  1. Calculer $P(-1-i)$
    On peut écrire $(-1-i)^3=(-1-i)^2(-1-i)$ pour développer $z^3$.
    $(-1-i)^2=(-1)^2+2\times (-1)\times (-i)+(-i)^2=1+2i-1=2i$
    $(-1-i)^3=(-1-i)^2(-1-i)$
    $\phantom{(-1-i)^3}=2i(-1-i)=-2i-2i^2=2-2i$

    $P(-1-i)=(-1-i)^3+i(-1-i)^2-i(-1-i)+1+i$
    $\phantom{P(-1-i)}=2-2i+i\times 2i+i+i^2+1+i$
    $\phantom{P(-1-i)}=2-2i-2+i-1+1+i$
    $\phantom{P(-1-i)}=3-3-2i+2i$
    $\phantom{P(-1-i)}=0$

    donc $P(-1-i)=0$
  2. On peut donc factoriser $P(z)$ par $z-(-1-i)=z+1+i$.
    Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $P(z)=(z+1+i)(az^2+bz+c)$ pour tout complexe $z$.
    Il faut développer l'expression $(z+1+i)(az^2+bz+c)$ et identifier les coefficients de $z^3$, de $z^2$, $z$ et la constante.
  3. En déduire les solutions de $P(z)=0$.
    Il faut utiliser la forme factorisée de $P(z)$ obtenue à la question 2 et un produit de facteurs nul.


 
Haut de page