Exercice 737

Equation de degré 3

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- calculs avec des complexes(développer une expression)
- factorisation par identification des coefficients
- racines d'un polynôme de degré 3

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On pose $P(z)=z^3-(1+i)z^2+(3+i)z-3i$ défini pour $z\in \mathbb{C}$.
  1. Calculer $P(i)$
    $i^3=i^2\times i=-i$
    $P(i)=i^3-(1+i)i^2+(3+i)i-3i$
    $\phantom{P(i)}=-i-(1+i)\times (-1)+3i+i^2-3i$
    $\phantom{P(i)}=-i+1+i+3i-1-3i$
    $\phantom{P(i)}=1-1+4i-4i$
    $\phantom{P(i)}=0$

    donc $P(i)=0$
  2. En déduire une factorisation de $P(z)$.
    $i$ est une racine du polynôme donc on peut factoriser par $z-i$ et on pose $P(z)=(z-i)(az^2+bz+c)$ pour tout complexe $z$.
    Il faut développer l'expression $(z-i)(az^2+bz+c)$ et identifier les coefficients de $z^3$, de $z^2$, $z$ et la constante.
  3. En déduire les solutions de $P(z)=0$.
    Il faut utiliser la forme factorisée de $P(z)$ obtenue à la question 2 et un produit de facteurs nul.


 
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