Exercice 738

Résolution d'une équation en utilisant la forme algébrique

Contenu

- déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe
- résolution d'un système d'équations

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On considère l'équation $3z+z~\overline{z}+3i=0$ dans $\mathbb{C}$.
  1. En posant $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $3z+z~\overline{z}+3i$.
    Il faut développer puis ordonner l'expression sous la forme $a+ib$ avec $a$ et $b$ exprimés en fonction de $x$ et $y$.
    Si on pose $z=x+iy$ alors on a $\overline{z}=x-iy$
    $3(x+iy)+(x+iy)(x-iy)+3i=3x+3iy+x^2+y^2+3i$
    $\phantom{3(x+iy)+(x+iy)(x-iy)+3i}=x^2+y^2+3x+3iy+3i$
    $\phantom{3(x+iy)+(x+iy)(x-iy)+3i}=x^2+y^2+3x+i(3y+3)$

    donc la partie réelle est $x^2+y^2+3x$ et la partie imaginaire est $3y+3$
  2. En déduire les solutions de l'équation $3z+z~\overline{z}+3i=0$ dans $\mathbb{C}$.
    $z=0$ si et seulement si $Re(z)=0$ et $Im(z)=0$


 
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