Exercice 741

Recherche de la forme trigonométrique

Contenu

- calcul du module et de l'argument d'un complexe à partir de la forme algébrique
- équations trigonométriques

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Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ dans chaque cas.
  1. $z=8-8i$
    Il faut calculer $|z|$
    $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    $|z|=\sqrt{8^2+(-8)^2}=\sqrt{64+64}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$
    $z=8\sqrt{2}\left(\dfrac{8}{8\sqrt{2}}-i\dfrac{8}{8\sqrt{2}}\right)$
    $\phantom{z}=8\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
    donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{-\pi}{4}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).


    $z=8\sqrt{2}\left(cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+isin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=8\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$
  2. $z=-1+i\sqrt{3}$
    Il faut calculer $|z|$
  3. $z=5i$


 
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