Exercice 743

Module et argument d'un produit et d'un quotient

Contenu

- recherche de la forme trigonométrique
- calcul du module et de l'argument du produit de deux complexes
- calcul du module et de l'argument du quotient de deux complexes

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On considère les complexes $z=1+i$ et $z'=-1+i\sqrt{3}$.
  1. Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ et de $z'$
    $|z|=\sqrt{(1)^2+1^2}=\sqrt{2}$
    $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
    $\phantom{z}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).


    $z=\sqrt{2}\left(cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

    $|z'|=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2$
    $z'=2\left(\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
    donc si on note $\theta'=arg(z')$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta')=\dfrac{-1}{2}\\ sin(\theta')=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta'=\dfrac{2\pi}{3}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta'=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).


    $z'=2\left(cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$
  2. En déduire le module et l'argument de $zz'$.
  3. En déduire le module et l'argument de $\dfrac{z}{z'}$.


 
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