Exercice 744

Module et argument d'un produit-valeur exacte d'un cos et d'un sin

Contenu

- recherche de la forme trigonométrique d'un complexe
- module et argument d'un produit: utilisation de la notation exponentielle(propriétés)
- recherche de la valeur exacte du cos et sin d'un angle

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On considère les complexes $z=1+i\sqrt{3}$ et $z'=1+i$.
  1. Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ et de $z'$
    $|z|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2$
    $z'=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
    donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).

    $z=2\left(cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=2e^{i\frac{\pi}{3}}$


    $|z'|=\sqrt{(1)^2+1^2}=\sqrt{2}$
    $z'=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
    $\phantom{z'}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    donc si on note $\theta'=arg(z')$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta')=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta')=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta'=\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).

    $z'=\sqrt{2}\left(cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$
  2. En déduire l'écriture exponentielle de $zz'$.
  3. Calculer $zz'$ sous forme algébrique.
  4. En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et de $sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.
    On peut utiliser l'écriture trigonométrique de $zz'$ et la forme algébrique de $zz'$.


 
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