Exercice 746

Module et argument d'un carré

Contenu

- calcul de la forme algébrique
- module et argument d'un complexe
- module et argument du carré d'0un complexe
- recherche des valeur exactes d'un cos et d'un sin

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On donne le complexe $z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$
  1. Déterminer la forme algébrique de $z^2$
    On peut utiliser les identités remarquables
    $(\sqrt{2+\sqrt{2}})(\sqrt{2-\sqrt{2}})=\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$
    $z^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2$
    $\phantom{z^2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}^2+2\times \sqrt{2+\sqrt{2}}\times i\sqrt{2-\sqrt{2}}+i^2\sqrt{2-\sqrt{2}}^2$
    $\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}-(2-\sqrt{2})$

    $\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}-(2-\sqrt{2})$
    $\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}+2i\sqrt{2^2-\sqrt{2}^2}-2+\sqrt{2}$
    $\phantom{z^2}=2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$

    $z^2=2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$
  2. Déterminer la forme trigonométrique de $z^2$.
  3. En déduire le module et l'argument de $z$.
    On a donc $|z^2|=|z|^2$ et $arg(z^2)=2arg(z)$ ($2\pi$)
  4. En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ et de $sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
    Il faut utiliser la forme trigonométrique de $z$ et la forme algébrique de $z$.


 
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