Exercice 753

Nature d'un quadrilatère

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- affixe d'une vecteur
- module et distances
- forme algébrique d'un quotient de deux complexes
- argument d'un complexe

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On donne les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixe respective $z_A=3+i$, $z_B=1+4i$, $z_C=4+6i$ et $z_D=6+3i$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
  1. Calculer l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
    $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1+4i-(3+i)=-2+3i$
    $z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D=4+6i-(6+3i)=4+6i-6-3i=-2+3i$
    $z_{\overrightarrow{AD}}=z_D-z_A=6+3i-(3+i)=6+3i-3-i=3+2i$
  2. Calculer $AB$ et $AD$
    Il faut calculer $|z_B-z_A|$ et $|z_D-z_A|$.
  3. Donner la forme algébrique puis trigonométrique de $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}$.
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugé du dénominateur
  4. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
    On a $z_B-z_A=z_D-z_A$ et $|z_B-z_A|=|z_D-z_A|$ puis l'argument de $-i$


 
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