Exercice 755

Recherche d'un ensemble de points (type BAC)

Contenu

- recherche de la partie réelle et imaginaire d'un quotient de deux complexes
- détermination d'un ensemble de points avec une condition donnée

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne le point $A$ d'affixe $z_A=2i$
A tout point $M$ d'affixe $z\neq 2i$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'=\dfrac{z}{z-2i}$.
  1. On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels et $z\neq 2i$ soit $(x;y)\neq (0;2)$.
    Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.
    On a $z'=\dfrac{x+iy}{x+iy-2i}=\dfrac{x+iy}{x+i(y-2)}$
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $x+i(y-2)$ soit $x-i(y-2)$
    $z'=\dfrac{x+iy}{x+iy-2i}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x+iy}{x+i(y-2)}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{(x+iy)(x-i(y-2))}{(x+i(y-2))(x-i(y-2))}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x^2+ixy-ix(y-2)-i^2y(y-2)}{x^2+(y-2)^2}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x^2+ixy-ix(y-2)+y(y-2)}{x^2+(y-2)^2}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x^2+y(y-2)+i(xy-x(y-2))}{x^2+(y-2)^2}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x^2+y^2-2y+i(xy-xy+2x)}{x^2+(y-2)^2}$
    $\phantom{z'}=\dfrac{x^2+y^2-2y+i2x}{x^2+(y-2)^2}$

    donc $Re(z')=\dfrac{x^2+y^2-2y}{x^2+(y-2)^2}$ et $Im(z')=\dfrac{2x}{x^2+(y-2)^2}$
  2. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $M'$ appartienne à l'axe des abscisses.
    $M'$ a pour affixe $z'=x'+iy'$ et $M'$ appartient à l'axe des abscisses si et seulement si $y'=Im(z')=0$
    on doit avoir $z\neq 2i$ soit $M\neq A$
  3. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}_1$ des points $M$ tels que $M'$ appartienne à l'axe des ordonnées.
    $M'$ a pour affixe $z'=x'+iy'$ et $M'$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $x'=Re(z')=0$
    on doit avoir $z\neq 2i$ soit $M\neq A$


 
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