Exercice 756

Nature d'un quadrilatère

Contenu

- recherche de la forme exponentielle d'un complexe (module et argument)
- argument d'un quotient de deux complexes
- angle orienté de deux vecteurs
- affixe de la somme de deux vecteurs
- nature d'un quadrilatère

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Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ et on donne le point $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=3+i\sqrt{3}$, $z_B=-\sqrt{3}+3i$ et $z_C=z_A+z_B$.
  1. Déterminer l'écriture exponentielle de $z_A$ et $z_B$
    Il faut calculer $|z_A|$ puis résoudre le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{3}{|z_A|}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{|z_A|}\end{cases}$
    $|z_A|= \sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$
    $z_A=2\sqrt{3}\left(\dfrac{3}{2\sqrt{3}}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right)$
    Si on note $\theta=arg(z_A)$, il faut résoudre le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{2} \end{cases}$

    donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$)

    $z_A=2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}$


    $|z_B|= \sqrt{\sqrt{3}^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
    $z_B=2\sqrt{3}\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}+i\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\right)$
    $\phantom{z_B}=2\sqrt{3}\left(\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\right)$
    Si on note $\theta'=arg(z_B)$, il faut résoudre le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} cos(\theta')=\dfrac{-1}{2}\\ sin(\theta')=\dfrac{3}{2\sqrt{3}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta')=\dfrac{-1}{2}\\ sin(\theta')=\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta')=\dfrac{-1}{2}\\ sin(\theta')=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

    donc $\theta'=\dfrac{2\pi}{3}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta'=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$)

    $z_B=2\sqrt{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}$
  2. En déduire la mesure en radians de $(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})$.
    $(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})=arg(z_B)-arg(z_A)$
  3. Déterminer alors la nature du quadrilatère $OACB$.
    $z_C=z_A+z_B$ donc $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$


 
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