Exercice 791

Equation de degré 3

Contenu

- calculs avec les complexes
- factorisation d'un polynôme de degré 3
- équation du second degré à coefficients réels

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On pose $P(z)=z^3-(1+2i)z^2+(1+2i)z-2i$ avec $z\in \mathbb{C}$.
  1. Calculer $P(2i)$
    On remplace $z$ par $2i$ dans $P(z)$.
    $(2i)^3=2^3i^3=8i^2\times i=-8i$
    $P(2i)=(2i)^3-(1+2i)(2i)^2+(1+2i)2i-2i$
    $\phantom{P(2i)}=2^3i^3-(1+2i)(-4)+(1+2i)2i-6i$
    $\phantom{P(2i)}=-8i+4+8i+2i+4i^2-2i$
    $\phantom{P(2i)}=4-4-8i+8i+2i-2i$
    $\phantom{P(2i)}=0$

    $p(2i)=0$
  2. En déduire une factorisation de $P(z)$ sous forme d'un produit d'un facteur du premier degré et d'un facteur du second degré.
    On a $P(2i)=0$ donc $P(z)$ peut s'écrire sous la forme $P(z)=(z-2i)(az^2+bz+c)$
    On peut développer $(z-2i)(az^2+bz+c)$ puis identifier les coefficients de $P(z)$ pour obtenir trois équations d'inconnues $a$, $b$ et $c$.
  3. En déduire les solutions de $P(z)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
    Il faut résoudre $z^2-z+1=0$


 
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