Exercice 7910

Complément: racine nième d'un nombre complexe

Contenu

- forme exponentielle
- recherche de l'argument de z tel que zn=a avec a donné
- application à la résolution de l'équation z5=i

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$n$ est un entier naturel non nul et $a$ est un nombre complexe de module 1 et d'argument $\alpha$ ($2\pi$).
On considère l'équation E: $z^n=a$.
  1. Montrer que $|z|=1$
    $\left|z^n\right|=|z|^n$
    $\left|z^n\right|=|z|^n$
    $z^n=a$ donc $|z|^n=|a|=1$

    donc $|z|=1$
  2. On note $\theta=arg(z)$ ($2\pi$).
    Montrer que l'équation $z^n=a$ admet alors $n$ solutions distinctes dont on précisera la forme exponentielle.
    $|z|=1$ donc $z=e^{i\theta}$ et $z_n=e^{in \theta}$
  3. Application: résoudre l'équation $z^5=i$
    Il faut déterminer un argument de $i$


 
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