Exercice 7911
Compléments: formules d'euler, linéarisation de cos5(x) et recherche d'une primitive
$z$ est un nombre complexe non nul et on note $\theta$ un argument de $z$.
- Pour tout $z\neq 0$ et on note $\theta$ un argument de $z$.
Montrer que $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos(\theta)$ et $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isin(\theta)$Module, argument et forme trigonométrique
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
Soit $M$ d'affixe $z$.
Le module de $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
Graphiquement, on a donc:
On a alors $z=|z|(cos(arg(z))+isin(arg(z))$ avec $cos(arg(z))=\dfrac{x}{|z|}$ et $sin(arg(z))=\dfrac{y}{|z|}$.
Cette forme est appelée forme trigonométrique de $z$.$cos(-\theta)=cos(\theta)$ et $sin(-\theta)=-sin(\theta)$$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)+cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$
$\phantom{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)+cos(\theta)-i\sin(\theta)$
$\phantom{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}=2cos(\theta)$
$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)-(cos(\theta)+i\sin(-\theta))$
$\phantom{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)-cos(\theta)+isin(\theta)$
$\phantom{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}=2isin(\theta)$
$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos(\theta)$ et $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isin(\theta)$. - En déduire les formules d'Euler exprimant $cos(\theta)$ et $sin(\theta)$ en fonction de $e^{\theta}$ et $e^{-i\theta}$.
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- On donne $(a+b)^5=a^5+5a^4b^2+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4
+ b^5$.
Calculer $\left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^5$ et en déduire une linéarisation de $cos^5(x)$, c'est à dire l'expression de $cos^5(x)$ en fonction de $cos(5x)$, $cos(3x)$ et $cos(x)$.Il faut utiliser les formules d'Euler après avoir développé.
Par exemple $e^{5i\theta}+e^{-5i\theta}=cos(5\theta)$Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!
- En déduire une primitive de $f(x)=cos^5(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Il faut utiliser la forme linéarisée et on rappelle que $(sin(nx))'=\dfrac{-sin(nx)}{n}$
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