Exercice 7911

Compléments: formules d'euler, linéarisation de cos5(x) et recherche d'une primitive

Contenu

- formules d'Euler
- application à la linéarisation de cos5(x)
- recherche d'une primitive de cos5(x) en utilisant la forme linéarisée

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$z$ est un nombre complexe non nul et on note $\theta$ un argument de $z$.
  1. Pour tout $z\neq 0$ et on note $\theta$ un argument de $z$.
    Montrer que $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos(\theta)$ et $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isin(\theta)$
    $cos(-\theta)=cos(\theta)$ et $sin(-\theta)=-sin(\theta)$
    $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)+cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$

    $\phantom{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)+cos(\theta)-i\sin(\theta)$

    $\phantom{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}=2cos(\theta)$
    $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)-(cos(\theta)+i\sin(-\theta))$

    $\phantom{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)-cos(\theta)+isin(\theta)$

    $\phantom{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}=2isin(\theta)$

    $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos(\theta)$ et $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isin(\theta)$.
  2. En déduire les formules d'Euler exprimant $cos(\theta)$ et $sin(\theta)$ en fonction de $e^{\theta}$ et $e^{-i\theta}$.
  3. On donne $(a+b)^5=a^5+5a^4b^2+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4 + b^5$.
    Calculer $\left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^5$ et en déduire une linéarisation de $cos^5(x)$, c'est à dire l'expression de $cos^5(x)$ en fonction de $cos(5x)$, $cos(3x)$ et $cos(x)$.
    Il faut utiliser les formules d'Euler après avoir développé.
    Par exemple $e^{5i\theta}+e^{-5i\theta}=cos(5\theta)$
  4. En déduire une primitive de $f(x)=cos^5(x)$ sur $\mathbb{R}$.
    Il faut utiliser la forme linéarisée et on rappelle que $(sin(nx))'=\dfrac{-sin(nx)}{n}$


 
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