Exercice 792

module et argument d'un complexe, produit de deux complexes (type BAC )

Contenu

- transformation complexe du plan
- calcul du module et de l'argument du produit de deux complexes
- recherche d'un ensemble de points

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Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ et on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1$ et $z_B=-1$.
On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ distinct de $B$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=f(z)=\dfrac{z-1}{z+1}$.
  1. Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ c'est à dire tels que $f(z)=z$.
    On veut résoudre l'équation $f(z)=z$ soit $\dfrac{z-1}{z+1}=z$
    $f(z)=z\Longleftrightarrow\dfrac{z -1}{z+1}=z$
    $\phantom{f(z)} \Longleftrightarrow z-1=(z+1)z$
    $\phantom{f(z)} \Longleftrightarrow z^2=-1$
    $\phantom{f(z)} \Longleftrightarrow z=i$ ou $z=-i$

    Les points invariants par $f$ sont donc les points d'affixes $i$ et $-i$.
  2. Montrer que pour tout complexe $z\neq -1$ on a $(z'-1)(z+1)=-2$.
    Il faut réduire $z'-1=\dfrac{z-1}{z+1}-1$ au même dénominateur
    Pour tout complexe $z\neq -1$ on a:
    $(z'-1)(z+1)=\left(\dfrac{z-1}{z+1}-1\right)(z+1)$
    $\phantom{(z'-1)(z+1)}=\left(\dfrac{z-1-(z+1)}{z+1}\right)(z+1)$
    $\phantom{(z'-1)(z+1)}=\left(\dfrac{-2}{z+1}\right)(z+1)$
    $\phantom{(z'-1)(z+1)}=\dfrac{-2(z+1)}{z+1}$
    $\phantom{(z'-1)(z+1)}=-2$

    donc $(z'-1)(z+1)=-2$
  3. En déduire une relation entre $|z'-1|$ et $|z+1|$ puis entre $arg(z'-1)$ et $arg(z+1)$.
    $|-2|=2$ et $arg(-2)=\pi$ ($2\pi$)
  4. Que peut-on en déduire pour les droites $(AM')$ et $(BM)
    L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM'}$ est $z'-z_A=z'-1$ et l'affixe du vecteur $\overrightarrow{BM}$ est $z-z_B=z+1$.
  5. Montrer que si $M$ appartient au cercle de centre $B$ est rayon 2 alors $M'$ appartient au cercle de centre $A$ et rayon 1.
    $M$ appartient au cercle de centre $B$ et rayon 2 donc $|z-z_B|=|z+1|=2$


 
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