Exercice 793

Recherche d'un ensemble de points (type BAC)

Contenu

- utilisation des propriétés des modules pour déterminer un ensemble de points
- déterminer la forme algébrique du quotient de deux complexes
- recherche d'un ensemble de points d'affixe z pour que z' soit réel puis imaginaire pur

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ et on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=4i$ et $z_B=-2$.
A tout complexe $z\neq -2$, on associe le complexe $z'$ tel que $z'=\dfrac{z-4i}{z+2}$.
  1. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $|z'|=1$.
    $\left\vert \dfrac{z-4i}{z+2}\right\vert=\dfrac{|z-4i|}{|z+2|}$
    L'ensemble des points $M$ équidistants de $A$ et $B$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
    $|z'|=1\Longleftrightarrow \left\vert \dfrac{z-4i}{z+2}\right\vert=1$
    $\phantom{|z'|=1}\Longleftrightarrow \dfrac{|z-4i|}{|z+2|}=1$
    $\phantom{|z'|=1}\Longleftrightarrow |z-4i|=|z+2|$
    $|z-4i|=|z-z_A|=AB$ et $|z+2|=|z-z_B|=BM$
    donc $AM=BM$

    donc $\mathcal{E}$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
  2. On pose $z=x+iy$, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $x+iy+2$ soit $x+2-iy$
  3. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}_1$ des points $M$ tels que $z' \in \mathbb{R}$.
    On veut que la partie imaginaire de $z'$ soit nulle.
  4. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}_2$ des points $M$ tels que $z'$ soit imaginaire pur.
    On veut que la partie réelle de $z'$ soit nulle.
    Rappel: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$ est une équation du cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et rayon $r$


 
Haut de page