Exercice 794

Equation de degré 3, utilisation de la notation exponentielle

Contenu

- forme trigonométrique d'un complexe
- calculs avec la notation exponentielle
- factorisation d'un polynôme de degré 3
- solutions de l'équation

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  1. Ecrire $1+i$ sous forme exponentielle et en déduire $(1+i)^6$.
    Il faut calculer $|1+i|$ et on a $cos(\theta)=\dfrac{1}{|z|}$ et $sin(\theta)=\dfrac{1}{|z|}$ avec $\theta=arg(1+i)$ ($2\pi$)
    $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
    $1+i=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
    Si on note $\theta=arg(z)$ ($2\pi$).
    On a alors $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$)

    $1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

    $(1+i)^6=\sqrt{2}^6e^{i\frac{6\pi}{4}}=8e^{i\frac{3\pi}{2}}=8\left(cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+isin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right)=-8i$
    En effet $cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=cos\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=0$
    et $sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=sin\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=-1$

    $(1+i)^6=-8i$
  2. En utilisant la question 1, déterminer une solution possible notée $z_1$ de l'équation E: $z^3=-8i$.
    $(1+i)^6=\left((1+i)^2\right^3$
  3. Déterminer alors les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $z^3+8i=(z-2i)(az^2+bz+c)$.
    Il faut développer $(z-2i)(az^2+9bz+c)$ puis identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$.
  4. En déduire les solutions de E.
    On admettra que la résolution d'une équation du second degré peut se faire de manière analogue à celle utilisée avec des réels.
    On calcule $\Delta$ avec $a=1$, $b=2i$ et $c=-4$


 
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