Exercice 795

Ensemble de points, angle orienté de vecteurs

Contenu

- forme trigonométrique d'un complexe
- recherche d'un point défini par un module et un angle orienté
- ensemble de points défini par le module d'une somme

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Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
  1. On note $a=3-3i$ et $b=-a$.
    1. Ecrire $b$ sous forme exponentielle.
      Il faut calculer $|b|$ et on a $cos(arg(b))=\dfrac{-3}{|b|}$ et $sin(arg(b))=\dfrac{3}{|b|}$
      $b=-a=-3+3i$
      $|b|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
      $b=3\sqrt{2}\left(\dfrac{-3}{3\sqrt{2}}+i\dfrac{3}{3\sqrt{2}}\right)=3\sqrt{2}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
      Si on note $\theta=arg(b)$, on a alors:
      $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $

      donc $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ ($2\pi$).

      $-3+3i=3\sqrt{2}\left(cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+isin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)=3\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$
    2. Déterminer l'affixe $c$ du point $C$ tel que $OB=OC$ et $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$).
      $OB=|b|$ et $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=arg\left(\dfrac{c}{b}\right)=arg(c)-arg(b)$
      $OB=|b|=|-3+3i|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
      $OC=OB \Longleftrightarrow |c|=|b| \Longleftrightarrow |c|=3\sqrt{2}$
      $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=arg(c)-arg(b)$ ($2\pi$)
      donc $arg(c)-arg(b)=\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$) soit $arg(c)=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$ ($2\pi$)

      donc $c=3\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}}$

      La forme algébrique de $c$ est donc:
      $c=3\sqrt{2}\left(cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)+isin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right)$
      $\phantom{c}=3\sqrt{2}\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)$
      $\phantom{c}=-3-3i$

      donc l'affixe de $C$ est $z_C=-3-3i$.
      Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
      Remarque
      La mesure principale de $arg(c)$ est $\dfrac{5\pi}{4}-2\pi=\dfrac{-3\pi}{4}$
    3. Déterminer l'affixe $d$ du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
      Les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ doivent être égales.
  2. On veut déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=2BD$.
    1. Montrer que $D$ appartient à $\mathcal{E}$.
      ABCD parallélogramme donc $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$
    2. On note $z$ l'affixe de $M$.
      Montrer que $M\in \mathcal{E} \Longleftrightarrow |z+1+i|=4\sqrt{5}$
      En déduire la nature de $\mathcal{E}$.
      L'affixe du vecteur $\overrightarrow{MA}$ est $z-a$
      Il faut donc calculer le module de $z-a+z-b+z-c$


 
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