Exercice 796

Complexes et suites (d'après BAC S Pondichéry 2014)

Contenu

- forme trigonométrique d'un complexe et notation exponentielle
- suite géométrique et limite
- lecture d'un algorithme avec TANT QUE
- construction des points en tenant compte des propriétés géométriques

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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : $z_{0} = 1$ et $ z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}$.
On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.
  1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$.
    $\left\vert \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right\vert=\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{12}{16}}=\dfrac{\sqrt{12}}{4}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\times \dfrac{3}{4}+i\dfrac{2}{\sqrt{3}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{3}{2\sqrt{3}}+i\dfrac{1}{2}\right)$
    En posant $\theta=arg\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)$, on a donc le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{2} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{2} \end{cases}$ donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ($2\pi$)

    donc $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}$
    1. Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
      Il faut montrer que $r_{n+1}=qr_n$ et $r_{n+1}=|z_{n+1}|$
      Pour tout entier naturel $n$ on a:
      $r_{n+1}=|z_{n+1}|$ et $ z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}$
      $\phantom{r_{n+1}}=\left\vert\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n}\right\vert$
      $\phantom{r_{n+1}}=\left\vert\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right\vert \left\vert z_{n}\right\vert$ et $\left\vert\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right\vert=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
      $\phantom{r_{n+1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \left\vert z_{n}\right\vert$
      $\phantom{r_{n+1}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4} r_n$

      donc la suite $(r_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    2. En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
      Une suite géométrique est définie par sa raison et son premier terme
      $r_n=|z_n|$ et donc $r_0=|z_0|$
    3. Que dire de la longueur $OA_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
      $OA_n=|z_n|=r_n$
  2. On considère l'algorithme suivant :
    1. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ?
      A chaque passage dans la boucle TANT QUE, on ajoute 1 à l'indice $n$ et on calcule le terme suivant de la suite $(r_n)$ soit $\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_n$
    2. Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$.
      Quel est le rôle de cet algorithme ?
      On recherche donc à partir de quel indice la distance $OA_n$ soit $r_n=|z_n|$ est inférieure à $P=0,01$
    1. Démontrer que le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
      On peut calculer les distances $OA_{n+1}$, $OA_n$ et $A_nA_{n+1}$ en utilisant les modules de $z_n$, $z_{n+1}$ et de $z_{n+1}-z_n$
    2. On admet que $z_{n} = r_{n}e^{i\frac{n\pi}{6}}$.
      Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées.
      $A_n$ appartient à l'axe des ordonnées si sa partie réelle est nulle donc si l'argument de $z_n$ est $\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$) ou bien $\dfrac{-\pi}{2}$ ($2\pi$)
    3. Compléter la figure donnée ci-dessous en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
      Les traits de construction seront apparents.
      On sait que le triangle $OA_5A_6$ est rectangle en $A_6$ et $z_6=r_6e^{i\frac{6\pi}{6}e_6e^{i\pi}$


 
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