Exercice 797

Suites et complexes ( d'après BAC S 2014 Liban)

Contenu

- calculs avec les modules
- forme explicite d'une suite géométrique
- forme trigonométrique d'un complexe et du produit de deux complexes
- recherche de la valeur exacte de cos(pi/12)

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-i$ et pour tout entier naturel $n$: $z_{n+1} = (1+i)z_n$.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.
  1. Calculer $u_0$.
    $u_0=|z_0|=|\sqrt{3}-i|=\sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2$

    $u_0=2$
  2. Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$.
    On veut montrer que $u_{n+1}=qu_n$
    $u_{n+1}= |z_{n+1}| = |(1+i)z_n|=|1+i|z_n$
    Pour tout entier naturel $n$ on a:
    $u_{n+1}= |z_{n+1}|$
    $\phantom{u_{n+1}} = |(1+i)z_n|$
    $\phantom{u_{n+1}}=|1+i||z_n|$
    $\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{1^2+1^2}|z_n|$
    $\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{2}|z_n|$
    $\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{2}u_n$

    donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\sqrt{2}$.
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    La raison est ici $\sqrt{2}>1$ et $u_0>0$
  5. Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.
    Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.
    On veut à chaque passage dans la boucle TANT QUE calculerle terme suivant pour la suite et augmenter l'indice de 1

Partie B
  1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
  2. Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+i$.
    En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
    Il faut calculer $|z_0|$ et $|1+i|$
    On utilise ensuite $e^{i\alpha}e^{i\theta}=e^{i(\alpha+\theta)}$
  3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
    Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont égales
    Il faut donc utiliser les deux formes d'écriture de $z_1$: algébrique et trigonométrique


 
Haut de page