Exercice 798

Complexes et suites (d'après BAC S centres étrangers 2014)

Contenu

- -calculs avec les complexes (produits)
- forme trigonométrique d'un complexe
- module d'un complexe et module d'un produit
- suites géométrique et somme des termes d'une suite géométrique
- limite d'une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1

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On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par :
$\begin{cases} z_{0}= 16\\ z_{n+1}=\dfrac{1 + i}{2}z_{n} \end{cases}$.
On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}$: $ r_{n} =\left|z_{n}\right|$. Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.
    1. Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
      On a $z_{n+1}=\dfrac{1 + i}{2}z_{n}$ donc $z_1=\dfrac{1 + i}{2}z_{0}$, $z_2=\dfrac{1 + i}{2}z_{1}$
      En prenant successivement $n=0$, $n=1$ puis $n=2$ dans la relation $z_{n+1}=\dfrac{1 + i}{2}z_{n}$ on a:
      $z_1=\dfrac{1 + i}{2}z_{0}$
      $\phantom{z_1}=\dfrac{1 + i}{2}\times 16$
      $\phantom{z_1}=8+8i$

      $z_2=\dfrac{1 + i}{2}z_{1}$
      $\phantom{z_2}=\dfrac{1 + i}{2}(8+8i)$
      $\phantom{z_2}=(1+i)(4+4i)$
      $\phantom{z_2}=4+4i+4i+4i^2$
      $\phantom{z_2}=4+8i-4$
      $\phantom{z_2}=8i$


      $z_3=\dfrac{1 + i}{2}z_{2}$
      $\phantom{z_3}=\dfrac{1 + i}{2}8i$
      $\phantom{z_3}=(1+i)4i$
      $\phantom{z_3}=4i+4i^2$
      $\phantom{z_3}=-4+4i$

      $z_1=8+8i$, $z_2=8i$ et $z_3=-4+4i$

      penser à contrôler les calculs avec la calculatrice (CASIO: OPTION puis CPLX)
    2. Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique ci-dessous.
      $A_1$ a pour affixe $8+8i$ donc $A_1(8;8)$.
      $A_2$ a pour affixe $8i$ donc $A_2(0;8)$.
      $A_3$ a pour affixe $4+4i$ donc $A_3(-4;4)$.
    3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + i}{2}$ sous forme trigonométrique.
    4. Démontrer que le triangle $OA_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.
      On peut calculer les modules de $z_0$, $z_1-z_0$ et de $z_1$ puis vèrifier que $OA_1^2+A_0A_1^2=OA_0^2$
  1. Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?
    Interpréter géométriquement le résultat précédent.
    Il faut montrer que $r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}r_n$
    $r_{n+1}=|z_{n+1}|=|\dfrac{1 + i}{2}z_{n}|=\left|\dfrac{1 + i}{2}\right|~|z_{n}|$


  2. On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc.
    Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$: $A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.
      L'affixe du vecteur $\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}$ est $z_{n+1}-z_n$
      $A_{n}A_{n+1}=||\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}||=|z_{n+1}-z_n|$
    2. Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.
      $A_{n}A_{n+1}=r_{n+1}$ donc $A_{0}A_{1}=r_{1}$, $A_{1}A_{2}=r_{2}$...........$A_{n-1}A_{n}=r_{n}$
    3. Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
      Il faut déterminer la limite de $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$


 
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