Exercice 799
Complexes et équations ( d'après BAC S Antilles)
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $f(z) = z^2 + 2z + 9$.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $f(z) = z^2 + 2z + 9$.
- Calculer l'image de $- 1 + i\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
$(-1+i\sqrt{3})^2=(-1)^2+2\times (-1)\times i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2$$f(- 1 + i\sqrt{3}) = (- 1 + i\sqrt{3})^2 + 2(- 1 + i\sqrt{3}) + 9$
$\phantom{f(z)}=(-1)^2+2\times (-1)\times i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2-2+2i\sqrt{3}+9$
$\phantom{f(z)}=1-2i\sqrt{3}-3-2+2i\sqrt{3}+9$
$\phantom{f(z)}=1-3-2+9$
$\phantom{f(z)}=5$
$f(z)=5$
penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (CASIO: OPTION puis CPLX)
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$.
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
Construire alors dans un repère orthonormé d'unité 2cm, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.Equations du second degré à coefficients réels
On veut résoudre $az^2+bz+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ réels ($a\neq 0$).
On calcule $\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta \geq 0$ on résout dans $\mathbb{R}$
Si $\Delta < 0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta}|}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
Par exemple si $\Delta=-9$ on a $\Delta=i^2\times 3^2$.Module, argument et forme trigonométrique
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
Soit $M$ d'affixe $z$.
Le module de $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
Graphiquement, on a donc:
On a alors $z=|z|(cos(arg(z))+isin(arg(z))$ avec $cos(arg(z))=\dfrac{x}{|z|}$ et $sin(arg(z))=\dfrac{y}{|z|}$.
Cette forme est appelée forme trigonométrique de $z$.$f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 4=0$$f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 4=0$
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times 4=-12$
$\Delta <0$ donc il y a deux racines complexes
$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{-2 +i\sqrt{12} }{2 }=\dfrac{-2+i2\sqrt{3}}{2}=-1+i\sqrt{3}$
et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{-2 -i\sqrt{12} }{2 }=\dfrac{-2-i2\sqrt{3}}{2}=-1-i\sqrt{3}$
$f(z)=5$ admet deux solutions dans $\mathbb{C}$, $z_1=-1+i\sqrt{3}$ et $z_2=-1-i\sqrt{3}$
$|z_1|=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=2$
$z_1=2\left(\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Si on note $\theta=arg(z_1)$ ($2\pi$), on a:
$\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{-1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ ($2\pi$)
On a $\overline{z_1}=\overline{-1+i}=-1-i=z_2$
donc $|z_2|=|z_1|$ et $arg(z_2)=-arg(z_1)=-\dfrac{2\pi}{3}$
$z_1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $z_2=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
$Im(z_1)>0$ donc $z_1$ est l'affixe de $A$ et $z_2$ est l'affixe de $B$.
$OA=|z_1|=OB=|z_2|=2$ donc $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre O et rayon 2.
$Re(z_1)=Re(z_2)=-1$ donc $A$ et $B$ ont pour abscisse $-1$.
Les points $A$ et $B$ sont donc les points d'intersection du cercle de centre O et rayon 2 et de la droite d'équation $x=-1$.
- Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.L'équation admet deux racines complexes conjuguées si $\Delta <0$Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)
- Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie $|f(z) - 8| = 3$.
Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
Tracer (F) sur le graphique.$f(z)-8=(z+1)^2$ et $\left|(z+1)^2\right|=|z+1|^2$Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!
- Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + iy$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
- Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 +i(2xy + 2y)$.
$(x+iy)^2=x^2+2ixy+(iy)^2$
Besoin d'aide, explication d'une notion, devoir ou exercice à faire...:AIDE EN LIGNE
- On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
Compléter le graphique en traçant ces droites.$f(z)$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulleBesoin d'aide, dialoguez avec un professeur qui vous conseille, vous aide ou vous apporte les explications nécessaires.
- Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 +i(2xy + 2y)$.
- Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).
On cherche les points d'intersection des droites $D_1$ et $D_2$ et du cercle (F) de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$