Exercice 799

Complexes et équations ( d'après BAC S Antilles)

Contenu

- équation de degré 2 dans l'ensemble des complexes
- forme trigonométrique d'un complexe
- recherche d'un ensemble de points avec f(z) réel
- intersection d'un cercle et d'une droite

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On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $f(z) = z^2 + 2z + 9$.
  1. Calculer l'image de $- 1 + i\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
    $(-1+i\sqrt{3})^2=(-1)^2+2\times (-1)\times i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2$
    $f(- 1 + i\sqrt{3}) = (- 1 + i\sqrt{3})^2 + 2(- 1 + i\sqrt{3}) + 9$
    $\phantom{f(z)}=(-1)^2+2\times (-1)\times i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2-2+2i\sqrt{3}+9$
    $\phantom{f(z)}=1-2i\sqrt{3}-3-2+2i\sqrt{3}+9$
    $\phantom{f(z)}=1-3-2+9$
    $\phantom{f(z)}=5$

    $f(z)=5$

    penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (CASIO: OPTION puis CPLX)
  2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$.
    Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
    Construire alors dans un repère orthonormé d'unité 2cm, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive).
    On laissera les traits de construction apparents.
    $f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 4=0$
    $f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 4=0$
    $\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times 4=-12$
    $\Delta <0$ donc il y a deux racines complexes
    $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{-2 +i\sqrt{12} }{2 }=\dfrac{-2+i2\sqrt{3}}{2}=-1+i\sqrt{3}$
    et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{-2 -i\sqrt{12} }{2 }=\dfrac{-2-i2\sqrt{3}}{2}=-1-i\sqrt{3}$

    $f(z)=5$ admet deux solutions dans $\mathbb{C}$, $z_1=-1+i\sqrt{3}$ et $z_2=-1-i\sqrt{3}$

    $|z_1|=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=2$
    $z_1=2\left(\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
    Si on note $\theta=arg(z_1)$ ($2\pi$), on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{-1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ ($2\pi$)
    On a $\overline{z_1}=\overline{-1+i}=-1-i=z_2$
    donc $|z_2|=|z_1|$ et $arg(z_2)=-arg(z_1)=-\dfrac{2\pi}{3}$

    $z_1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $z_2=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}$

    $Im(z_1)>0$ donc $z_1$ est l'affixe de $A$ et $z_2$ est l'affixe de $B$.
    $OA=|z_1|=OB=|z_2|=2$ donc $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre O et rayon 2.
    $Re(z_1)=Re(z_2)=-1$ donc $A$ et $B$ ont pour abscisse $-1$.
    Les points $A$ et $B$ sont donc les points d'intersection du cercle de centre O et rayon 2 et de la droite d'équation $x=-1$.
  3. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
    Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
    L'équation admet deux racines complexes conjuguées si $\Delta <0$
  4. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie $|f(z) - 8| = 3$.
    Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
    Tracer (F) sur le graphique.
    $f(z)-8=(z+1)^2$ et $\left|(z+1)^2\right|=|z+1|^2$
  5. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + iy$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
    1. Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 +i(2xy + 2y)$.
      $(x+iy)^2=x^2+2ixy+(iy)^2$
    2. On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
      Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
      Compléter le graphique en traçant ces droites.
      $f(z)$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle
  6. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).
    On cherche les points d'intersection des droites $D_1$ et $D_2$ et du cercle (F) de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$


 
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