$f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 4=0$
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times 4=-12$
$\Delta <0$ donc il y a deux racines complexes
$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{-2 +i\sqrt{12} }{2 }=\dfrac{-2+i2\sqrt{3}}{2}=-1+i\sqrt{3}$
et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{-2 -i\sqrt{12} }{2 }=\dfrac{-2-i2\sqrt{3}}{2}=-1-i\sqrt{3}$
$f(z)=5$ admet deux solutions dans $\mathbb{C}$, $z_1=-1+i\sqrt{3}$ et $z_2=-1-i\sqrt{3}$ |
$|z_1|=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=2$
$z_1=2\left(\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Si on note $\theta=arg(z_1)$ ($2\pi$), on a:
$\begin{cases}
cos(\theta)=\dfrac{-1}{2}\\
sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}$
donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ ($2\pi$)
On a $\overline{z_1}=\overline{-1+i}=-1-i=z_2$
donc $|z_2|=|z_1|$ et $arg(z_2)=-arg(z_1)=-\dfrac{2\pi}{3}$
$z_1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $z_2=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}$ |
$Im(z_1)>0$ donc $z_1$ est l'affixe de $A$ et $z_2$ est l'affixe de $B$.
$OA=|z_1|=OB=|z_2|=2$ donc $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre O et rayon 2.
$Re(z_1)=Re(z_2)=-1$ donc $A$ et $B$ ont pour abscisse $-1$.
Les points $A$ et $B$ sont donc les points d'intersection du cercle de centre O et rayon 2 et de la droite d'équation $x=-1$.