Exercice 812

Problème d'alignement: méthode vectorielle et analytique (rappels de première et de seconde)

Contenu

Méthode vectorielle
- décomposition d'un vecteur, relation de Chasles
- vecteurs colinéaires
Méthode analytique
- utilisation d'un repère et coordonnées de vecteurs
- critère de colinéarité

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
ABC est un triangle quelconque et les points E et F sont définis par les relations vectorielles:
$\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
  1. Construire les points définis dans l'énoncé
    $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$ donc pour construire le point E, il faut effectuer la translation de vecteur $3\overrightarrow{AB}$ à partir du point A (trois fois le déplacement correspondant à $\overrightarrow{AB}$ à partir de A)
    $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ donc pour construire le point F, il faut effectuer la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ à partir du point C suivie de la translation de vecteur $\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
    Le point E est l'image du point A par la translation de vecteur $3\overrightarrow{AB}$
    Le point F est l'image du point C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie de la translation de vecteur $\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
  2. On veut montrer que les points C, F et E sont alignés.
    Méthode géométrique:
    Exprimer $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ puis conclure.
    Utiliser les données de l'énoncé soit $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ puis décomposer le vecteur $\overrightarrow{BC}$ en fonction $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
    De même, pour utiliser les données de l'énoncé, $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$ , il faut décomposer $\overrightarrow{CE}$ en focnction des vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{AE}$
  3. Méthode analytique:
    En utilisant un repère judicieusement choisi, déterminer les coordonnées des points E et F puis montrer que les points C, E et F sont alignés
    Utiliser le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ par exemple.
    En utilisant les relations de l'énoncé, déterminer les coordonnées de E et F (voir aussi ex 5-1-1 prérecquis de seconde sur les coordonnées d'un vecteur ou la fiche méthode seconde sur les vecteurs)
    Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires en utilisant le critère de colinéarité


 
Haut de page