Exercice 822

Position relative de droites et plans dans un tétraèdre

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- déterminer si deux droites sont sécantes
- déterminer si une droite et un plan son sécants
- déterminer si deux plans sont sécants

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$ABCD$ est un tétraèdre avec $I$ milieu de $[AC]$, $J$ un point du segment $[AD]$ et $K$ milieu de $[AC]$.

  1. $(IJ)$ et $(AB)$ sont-elles sécantes?
    On peut utiliser le plan $(ACD)$ contenant la droite $(IJ)$.
    $I\in [AC]$ et $J\in [AD]$ donc $(IJ)\subset (ACD)$
    $B\notin (ACD)$ donc $(AB)$ n'est pas contenue dans le plan $(ACD)$
    donc $(IJ)$ et $(AB)$ ne sont pas coplanaires

    donc $(IJ)$ et $(AB)$ ne sont pas sécantes.
  2. $(BJ)$ et $(AK)$ sont-elles sécantes?
    $(AB)$ et $(AK)$ sont contenues dans le plan $(ABD)$...
  3. La droite $(AK)$ est-elle sécante au plan $(BIJ)$?
    On peut utiliser la question précédente pour répondre
  4. Montrer que les plans $(BIJ)$ et $(ACK)$ son sécants et construire leur intersection.
    Il faut déterminer deux points d'intersection des deux plans
    On peut utiliser le point $I$ et la face $(ABD)$.


 
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