Exercice 823

Intersections de droites et plans dans un tétraèdre

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- justifier que deux droites sont sécantes et déterminer leur point d'intersection
- construire l'intersection de deux plans

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$ABCD$ est un tétraèdre et les points $I$, $J$ et $K$ appartiennent respectivement aux segments $[AD]$, $[BD]$ et $[CD]$ tel que $(IJ)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles et $(JK)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles(voir figure ci-dessous).
  1. Justifier que les droites $(IJ)$ et $(AB)$ sont sécantes en $M$ puis construire le point $M$.
    Il faut justifier que les deux droites sont contenues dans un même plan.
    $I\in [AD]$ donc $I \in (ABD)$
    $J\in (BD)$ donc $J\in (ABD)$
    donc la droite $(IJ)$ est contenue dans le plan $(ABD)$.
    Les deux droites $(IJ)$ et $(AB)$ sont donc coplanaires(sont toutes deux inclues dans le plan $(ABC)$)
    et d'après l'énoncé $(IJ)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles

    donc $(IJ)$ et $(AB)$ sont sécantes.

  2. Montrer que les droites $(JK)$ et $(BC)$ sont sécantes.
    Il faut montrer que les deux droites sont coplanaires (contenues dans un même plan).
  3. En déduire l'intersection des plans $(IJK)$ et $(ABC)$.
    Pour déterminer la droite d'intersection aux deux plans, il faut connaître deux points d'intersection de ces deux plans.
    Le point $M$ appartient à la droite $(IJ)$ donc appartient au plan $(IJK)$


 
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