Exercice 824

Constructions d'intersections dans un pavé droit

Contenu

- intersection de droites et plans
- intersection de plans (théorème du toit)
- intersection de deux plans avec deux points communs

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$ABCDEFGH$ est un pavé droit et les points $I$ et $J$ appartiennent respectivement aux segments $[AB]$ et $[HE]$ tel que $(IJ)$ et $(BE)$ ne sont pas parallèles(voir figure ci-dessous).
  1. Justifier que les droites $(IJ)$ et $(AH)$ sont sécantes en $M$ puis construire le point $M$.
    Il faut justifier que les deux droites sont contenues dans un même plan.
    $I$ et $J$ appartiennent à la face $(ABE)$
    donc les deux droites $(IJ)$ et $(AH)$ sont donc coplanaires(sont toutes deux inclues dans le plan $(ABE)$)
    et d'après l'énoncé $(IJ)$ et $(BE)$ donc $(AH)$ ne sont pas parallèles

    donc $(IJ)$ et $(AH)$ sont sécantes.

  2. Construire le point d'intersection $N$ de la droites $(IJ)$ et du plan $(BEF)$.
    Il faut utiliser deux droites coplanaires (contenues dans un même plan).
  3. $K$ est un point du segment $[DC]$ tel que $DK\neq AI$.
    Tracer l'intersection du plan $(IJK)$ et du plan $(DCF)$.
    Il faut utiliser le fait que les plans $(ABE)$ et $(DCF)$ sont parallèles (faces opposées du pavé droit).
  4. En déduire l'intersection des plans $(IJK)$ et $(BEF)$.
    Le point $N$ appartient aux plans $(IJK)$ et $(BEF)$
    Il faut trouver un second point d'intersection des deux plans en utilisant la droite de la quation précédente et la droite $(CF)$


 
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