Exercice 825

Constructions d'intersections-théorème du toit

Contenu

- intersections de plans dans un pavé droit avec le théorème du toit
- intersection de deux plans avec deux points communs

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$ABCDEFGH$ est un pavé droit et les points $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BE]$ et $[EF]$.
  1. Déterminer l'intersection des plans $(GDI)$ et $(BEF)$.
    Les droites $(GD)$ et $(FC)$ sont parallèles et contenues dans les plans $(GDI)$ et $(BEF)$.
    $DCFG$ est un rectangle donc $(GD)//(FC)$
    Les plans $(GDI)$ et $(BEF)$ contiennent respectivement les droites $(GD)$ et $(FC)$
    En utilisant le théorème du toit, on peut donc conclure que l'intersection des plans $(GDI)$ et $(BEF)$ est une droite $\Delta$ parallèle à $(GD)$ et $(FC)$.
    Pour tracer cette droite, il faut déterminer un point de celle-ci.
    Les points $I$ et $D$ appartiennent au plan $(ABC)$ donc les droites $(DI)$ et $(BC)$ sont coplanaires et non parallèles
    donc $(DI)$ et $(BC)$ sont sécantes en $M$.
    $M\in (BC)$ donc $M\in (BCF)$ ou encore $M\in (BEF)$
    donc $M$ est un point d'intersection des plans $(GDI)$ et $(BEF)$.
    donc $\Delta$ est la parallèle à $(GD)$ (ou $(FC)$) passant par $M$.
  2. Construire l'intersection $\Delta'$ des plans $(IEF)$ et $(DCF)$.
    Les plans $(ABE)$ et $(DCF)$ sont parallèles.
  3. Déterminer l'intersection $\Delta''$ des plans $(GHJ)$ et $(ABC)$.
    Les droites $(GH)$ et $(DA)$ sont parallèles.
    Il faut déterminer un point de $\Delta''$ en utilisant les droites $(HJ)$ et $(AB)$ coplanaires.


 
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