Exercice 826

Intersections de plans dans une pyramide-théorème du toit

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- intersection de plans et théorème du toit dans un pyramide

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$ABCDE$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est rectangulaire.
$I$ est un point du segment $[BE]$ et $J$ est un point de $[CE]$ tels que $(IJ)//(BC)$.
  1. Montrer que $(IJ)$ est parallèle à $(AD)$.
    $(IJ)$ est l'intersection des plans $(ABI)$ et $(BCI)$.
    $ABCD$ est un rectangle donc $(AD)//(BC)$
    Les plans $(ABI)$ et $(BCI)$ (ou $(BCE)$) sont sécants en $I$.
    En utilisant le théorème du toit, on peut donc conclure que l'intersection des plans $(ABI)$ et $(BCI)$ est une droite $\Delta_1$ parallèle à $(AD)$ et $(BC)$ passant par $I$
    donc $\Delta_1$ est confondue avec $(IJ)$ puisque $(IJ)//(BC)$


    donc $(IJ)$ est parallèle à $(AD)$.

  2. Montrer que $(AI)$ et $(DJ)$ sont sécantes en un point $M$ et construire $M$.
    Les plans $(ABE)$ et $(DCF)$ sont parallèles.
  3. Déterminer l'intersection $\Delta$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
  4. Montrer que $M$ appartient à $\Delta$.
    Il faut montrer que $M$ est un point commun aux plans $(ABE)$ et $(CDE)$.


 
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