Exercice 833

Alignement de trois points

Contenu

- coordonnées d'un vecteur défini par deux points
- vecteurs colinéaires et alignement de trois points

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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(1;-2;3)$, $B(0;4;1)$ et $C(3;-14;7)$.
  1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=0-1=-1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=4-(-2)=6\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-3=-2 \end{cases}$

    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\\ 6\\ -2 \end{pmatrix} $

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=3-1=2\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-14-(-2)=-12\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=7-3=4 \end{cases}$

    donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\\ -12\\ 4 \end{pmatrix} $
  2. En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.


 
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