Exercice 834

Points coplanaires, alignement

Contenu

- calcul des coordonnées d'un vecteur défini par deux points
- calcul des coordonnées d'un point défini par une relation vectorielle
- calcul des coordonnées d'un point aligné avec deux autres

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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(2;-3;1)$, $B(1;3;5)$ et $C(-1;3;-2)$.
  1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-2=-1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-(-3)=6\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-1=4 \end{cases}$

    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\\ 6\\ 4 \end{pmatrix} $

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=-1-2=-3\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=3-(-3)=6\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=-2-1=-3 \end{cases}$

    donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3\\ 6\\ -3 \end{pmatrix} $
  2. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
    $x_{\overrightarrow{AC}}=-3=3x_{\overrightarrow{AB}}$
    et $y_{\overrightarrow{AC}}=6=y_{\overrightarrow{AB}}$
    donc il n'existe pas de réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires

    donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
  3. Déterminer les coordonnées du point $M$ défini par la relation $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
    On a donc $x_{\overrightarrow{AM}}=2x_{\overrightarrow{AB}}-3x_{\overrightarrow{AC}}$
  4. Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$, $C$ et $M$?
  5. On donne $N(5;y;z)$, déterminer les coordonnées de $N$ pour que $A$, $B$ et $N$ soient alignés.
    Il faut que les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AB}$ soient colinéaires.


 
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